not a number

之前就有想過要用解析解求一個均勻的圓球的質量投影，但是推半天沒推出來，只好先用MATLAB做出一個3D的volume，再用 sum(V,3)來求投影質量。我知道這樣超白癡的，而且要是球稍微大一點，電腦就記憶體不足當掉給你看了。

剛才突然... 就夢到正確的解析解做法了......

原理

已知圓球球面的公式是\

其中 $R$ 為一常數，是球面的半徑。

現在我們將其推廣，把球面推廣成球體，則參數 $r$ 要滿足

其中

所以要快速求出一個球體的質量投影，只要移項還有乘以2就好了，得到：

不過記得要把超出 support $x^2 + y^2 < R$ 的地方手動設為零，不然可是會出現 complex 的。請直接參考下面的實作程式碼。

MATLAB 實作

function Z = sphere_proj(DIA)

RAD = DIA/2; % radius

x = linspace(-RAD, RAD, DIA);
[X, Y] = meshgrid(x, x);
R = sqrt( X.^2 + Y.^2);
Z = 2 * sqrt( RAD^2 - R.^2 );
Z( R > RAD) = 0;